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6 逻辑回归(Logistic Regression)
6.1 分类(Classification)
在分类问题中，预测的结果是离散值（结果是否属于某一类），逻辑回归算法(Logistic Regression)被用于解决这类分类问题。
- 垃圾邮件判断
- 金融欺诈判断
- 肿瘤诊断
肿瘤诊断问题：
肿瘤诊断问题是一个二元分类问题，则定义 $ y \in\lbrace 0, 1\rbrace$，其中 0 表示负向类(negative class)，代表恶性肿瘤("-")，1 为正向类(positive class)，代表良性肿瘤("+")。如图，定义最右边的样本为偏差项。
在未加入偏差项时，线性回归算法给出了品红色的拟合直线，若规定
$h_\theta(x) \geqslant 0.5$ ，预测为 $y = 1$，即正向类；
$h_\theta(x) \lt 0.5$ ，预测为 $y = 0$，即负向类。
即以 0.5 为分类阈值(threshold)，则我们就可以根据线性回归结果，得到相对正确的分类结果 $y$。
接下来加入偏差项，线性回归算法给出了靛青色的拟合直线，如果阈值仍然为 0.5，对于明明属于负向类的情况，算法会给出正向类这个完全错误的结果。
不仅如此，线性回归算法的值域为 $R$，则当线性回归算法给出如 $h = 1000, h = -1000$ 等数值时，我们仍会给出结果 $y \in \lbrace 0, 1\rbrace$，这显得非常怪异。
区别于线性回归算法，逻辑回归算法是一个分类算法，其输出值永远在 0 到 1 之间，即 $h \in (0,1)$。
6.2 假设函数表示(Hypothesis Representation)
为了使 $h \in \left(0, 1\right)$，引入逻辑回归模型，定义假设函数
$$
h_\theta \left( x \right)=g\left(\theta^{T}X \right)
$$
对比线性回归函数 $h_\theta \left( x \right)=\theta^{T}X$，$g$ 表示逻辑函数(logistic function)，复合起来，则为线性回归函数。
一个常用的逻辑函数是 S 形函数，叫做 sigmoid 函数（如下图），其公式为 $g\left( z \right)=\frac{1}{1+{{e}^{-z}}}$。
应用 sigmoid 函数，则逻辑回归模型：$$h_{\theta}(x)=g(\theta^Tx) =\frac{1}{1+e^{-\theta^Tx}}$$
$h_\theta \left( x \right)$ 的作用是，根据输入 $x$，参数 $\theta$ 计算得出”输出 $y=1$“的可能性(estimated probability)，概率学中表示为：
$\begin{align*}& h_\theta(x) = P(y=1 | x ; \theta) = 1 - P(y=0 | x ; \theta) \newline & P(y = 0 | x;\theta) + P(y = 1 | x ; \theta) = 1\end{align*}$
以肿瘤诊断为例，$h_\theta \left( x \right)=0.7$ 表示有 $70%$ 的概率为恶性肿瘤。