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- 4 多变量线性回归(Linear Regression with Multiple Variables)
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- 4.1 多特征(Multiple Features)
- 4.2 多变量梯度下降(Gradient Descent for Multiple Variables)
- 4.3 梯度下降实践1-特征值缩放(Gradient Descent in Practice I - Feature Scaling)
- 4.4 梯度下降实践2-学习速率(Gradient Descent in Practice II - Learning Rate)
- 4.5 特征和多项式回归(Features and Polynomial Regression)
- 4.6 Normal Equation
- 4.7 Normal Equation Noninvertibility
- 5 Octave Matlab Tutorial
[TOC]
4 多变量线性回归(Linear Regression with Multiple Variables)
4.1 多特征(Multiple Features)
对于一个要度量的对象，一般来说会有不同维度的多个特征。比如之前的房屋价格预测例子中，除了房屋的面积大小，可能还有房屋的年限、房屋的层数等等其他特征：
这里由于特征不再只有一个，引入一些新的记号
$n$: 特征的总数
${x}^{\left( i \right)}$: 代表特征矩阵中第 $i$ 行，也就是第 $i$ 个训练实例。
${x}_{j}^{\left( i \right)}$: 代表特征矩阵中第 $i$ 行的第 $j$ 个特征，也就是第 $i$ 个训练实例的第 $j$ 个特征。
参照上图，则有 ${x}^{(2)}\text{=}\begin{bmatrix} 1416\\ 3\\ 2\\ 40 \end{bmatrix}, {x}^{(2)}_{1} = 1416$
多变量假设函数 $h$ 表示为：$h_{\theta}\left( x \right)={\theta_{0}}+{\theta_{1}}{x_{1}}+{\theta_{2}}{x_{2}}+...+{\theta_{n}}{x_{n}}$
对于 $\theta_0$，和单特征中一样，我们将其看作基础数值。例如，房价的基础价格。
参数向量的维度为 $n+1$，在特征向量中添加 $x_{0}$ 后，其维度也变为 $n+1$， 则运用线性代数，可对 $h$ 简化。
$h_\theta\left(x\right)=\begin{bmatrix}\theta_0; \theta_1; ... ;\theta_n \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_0 \newline x_1 \newline \vdots \newline x_n\end{bmatrix}= \theta^T x$
$\theta^T$: $\theta$ 矩阵的转置
$x_0$: 为了计算方便我们会假设 $x_0^{(i)} = 1$
4.2 多变量梯度下降(Gradient Descent for Multiple Variables)
多变量损失函数类似于单变量损失函数，
即 $J\left( {\theta_{0}},{\theta_{1}}...{\theta_{n}} \right)=\frac{1}{2m}\sum\limits_{i=1}^{m}{{{\left( h_{\theta} \left({x}^{\left( i \right)} \right)-{y}^{\left( i \right)} \right)}^{2}}}$ ，其中 $h_\theta\left(x\right)= \theta^T x$。
前文提到梯度下降对于最小化损失函数的通用性，则多变量梯度下降公式即
$\begin{align*} & \text{repeat until convergence:} ; \lbrace \newline ; &{{\theta }{j}}:={{\theta }{j}}-\alpha \frac{\partial }{\partial {{\theta }{j}}}J\left( {\theta{0}},{\theta_{1}}...{\theta_{n}} \right) \newline \rbrace \end{align*}$
对其求导：
$\begin{align*}& \text{repeat until convergence:} ; \lbrace \newline ; & \theta_j := \theta_j - \alpha \frac{1}{m} \sum\limits_{i=1}^{m} (h_\theta(x^{(i)}) - y^{(i)}) \cdot x_j^{(i)} ; & \text{for j := 0,1...n}\newline \rbrace\end{align*}$
可展开为：
$\begin{align*} & \text{repeat until convergence:} ; \lbrace \newline ; & \theta_0 := \theta_0 - \alpha \frac{1}{m} \sum\limits_{i=1}^{m} (h_\theta(x^{(i)}) - y^{(i)}) \cdot x_0^{(i)}\newline ; & \theta_1 := \theta_1 - \alpha \frac{1}{m} \sum\limits_{i=1}^{m} (h_\theta(x^{(i)}) - y^{(i)}) \cdot x_1^{(i)} \newline ; & \theta_2 := \theta_2 - \alpha \frac{1}{m} \sum\limits_{i=1}^{m} (h_\theta(x^{(i)}) - y^{(i)}) \cdot x_2^{(i)} \newline & \vdots \newline ; & \theta_n := \theta_n - \alpha \frac{1}{m} \sum\limits_{i=1}^{m} (h_\theta(x^{(i)}) - y^{(i)}) \cdot x_n^{(i)} &\newline \rbrace \end{align*}$
当然，同单变量梯度下降一样，计算时需要同时更新所有参数。
4.3 梯度下降实践1-特征值缩放(Gradient Descent in Practice I - Feature Scaling)
在应用梯度下降算法实践时，由于各特征值的范围不一，可能会导致损失函数收敛过慢。
以房价预测问题为例，这里选取房屋面积大小和房间数量这两个特征。
下图中，左图是以原始数据绘制的损失函数轮廓图，右图为采用特征缩放（都除以最大值）后图像。左图中呈现的图像较扁，相对于使用特征缩放方法的右图，梯度下降算法需要更多次的迭代。
为了优化梯度下降的收敛速度，采用特征缩放方法，使各特征值的范围尽量一致。
除了以上图人工选择并除以一个参数的方式，**均值归一化(Mean normalization)**方法更为便捷，可采用它来对所有特征值统一缩放：
$x_i=\frac{x_i-average(x)}{maximum(x)-minimum(x)}, 使得 $ $x_i \in (-1,1)$$
对于特征的范围，并不一定需要使得 $-1 < x < 1$，类似于 $1\leqslant x \leqslant 3$ 也是可取的。
另外注意，一旦采用特征缩放，我们就需对所有的输入采用特征缩放，包括训练集、测试集、预测输入等。
4.4 梯度下降实践2-学习速率(Gradient Descent in Practice II - Learning Rate)
对于梯度下降，一般给定迭代次数来得出最小化损失函数的参数值，当然也可以设定比如 $J\left(\theta\right) < {10}^{-3}$ 等下限值来得到参数值，不过我们更常用的是给定迭代次数来得到参数值。
通过绘制损失函数关于迭代次数的图像，我们可以可视化梯度下降的执行过程，直观的图形可以帮助我们发现损失函数趋向于多少时能趋于收敛，参考图像来调整诸如学习速率的取值，迭代次数的选定等问题。
对于学习速率 $\alpha$，一般上图为合适，下图中左图可能表明 $\alpha$ 过大，损失函数无法收敛，右图可能表明 $\alpha$ 过小，损失函数收敛的太慢。当然，$\alpha$ 足够小时，损失函数在每轮迭代后一定会减少。$\alpha$ 可选取如 $\dots;0,001,;0.003,;0.01,;0.03,;0.1,;\dots$
另外，迭代次数刚开始可尽量高些，后面再根据需要同 $\alpha$ 进行调整。
4.5 特征和多项式回归(Features and Polynomial Regression)
线性回归只能以直线来对数据进行拟合，有时候需要使用曲线来对数据进行拟合，即多项式回归(Polynomial Regression)。
比如一个二次方模型：$h_{\theta}\left( x \right)={\theta_{0}}+{\theta_{1}}{x_{1}}+{\theta_{2}}{x_{2}^2}$
或者三次方模型：$h_{\theta}\left( x \right)={\theta_{0}}+{\theta_{1}}{x_{1}}+{\theta_{2}}{x_{2}^2}+{\theta_{3}}{x_{3}^3}$
或者平方根模型： $h_{\theta}\left( x \right)={\theta_{0}}+{\theta_{1}}{x_{1}}+{\theta_{2}}{x_{2}^2}+{\theta_{3}}{\sqrt{x_3}}$
在使用多项式回归时，要记住非常有必要进行特征缩放。
4.6 Normal Equation
4.7 Normal Equation Noninvertibility
5 Octave Matlab Tutorial
复习时可直接倍速回顾视频，笔记整理暂留。